בגרות חורף 2026 · שאלה 4 – מודל ריבועי: מסלול סקייטבורד בצורת פרבולה3 יחידות 372 · שיעור 28
📄 נוסח השאלה
נועם גולש בסקייטבורד על מסלול בצורת פרבולה שמשוואתה היא y = 0.4x2 − 1.2x. המסלול מתחיל בראשית הצירים O ומסתיים בנקודה A הנמצאת על ציר ה־x, כמתואר בסרטוט.
ציר ה־x מונח על פני הקרקע ומייצג את המרחק האופקי (במטרים) מן הנקודה O, וציר ה־y מייצג את גובה המסלול (במטרים) ביחס לפני הקרקע.
א. מצאו את אורך הקטע OA.
📄 נוסח השאלה · המשך
ב. מצאו את שיעורי הנקודה הנמוכה ביותר במסלול.
ג. מצאו בעבור אילו ערכים של x גלש נועם במגמת ירידה.
ד. מצאו בעבור אילו ערכים של x עבר נועם במסלול בנקודות ששיעור ה־y שלהן הוא −0.5.
סעיף א – אורך הקטע OA
A על ציר ה־x, ולכן y = 0. נפתור:
📐 כלל: נקודה על ציר ה־x
y = 0.4x2 − 1.2x
נציב y = 0:
0.4x2 − 1.2x = 0
נוציא גורם משותף x:
📐 כלל: מכפלה ששווה לאפס
x(0.4x − 1.2) = 0
📐 כלל: נקודה על ציר ה־x
y = 0
📐 כלל: מכפלה ששווה לאפס
מכפלה שווה 0 כאשר אחד הגורמים שווה 0
סעיף א – אורך הקטע OA · המשך
x(0.4x − 1.2) = 0
x = 0
או
0.4x − 1.2 = 0
0.4x = 1.2
x = 3
סעיף א – אורך הקטע OA · המשך
x = 3
x = 0 היא הנקודה O, ולכן A(3 , 0). המרחק בין O ל־A:
OA = 3 − 0 = 3
✅ פתרון סופי: אורך הקטע OA הוא 3 מטרים
סעיף ב – הנקודה הנמוכה ביותר
המקדם של x2 חיובי (a = 0.4), ולכן הפרבולה "מחייכת" והקדקוד הוא הנקודה הנמוכה ביותר:
📐 נוסחה: שיעור ה־x של קדקוד הפרבולה
x = −b2a
נציב b = −1.2 , a = 0.4:
x = −(−1.2)2 · 0.4 = 1.20.8 = 1.5
נמצא את ה־y של הקדקוד:
📐 כלל: ערך הפונקצייה בנקודה
y = 0.4x2 − 1.2x
📐 נוסחה: שיעור ה־x של קדקוד הפרבולה
x = −b2a
📐 כלל: ערך הפונקצייה בנקודה
מציבים את ה־x בפונקצייה
סעיף ב – הנקודה הנמוכה ביותר · המשך
y = 0.4x2 − 1.2x
נציב x = 1.5:
y = 0.4 · 1.52 − 1.2 · 1.5
y = 0.4 · 2.25 − 1.8
y = 0.9 − 1.8 = −0.9
✅ פתרון סופי: (1.5 , −0.9)
סעיף ג – מגמת ירידה
הפרבולה "מחייכת", ולכן היא יורדת משמאל לקדקוד, כלומר בעבור x קטן מ־1.5:
📐 כלל: ירידה בפרבולה עם a חיובי
המסלול מתחיל ב־O שבה x = 0, ולכן נועם גלש במגמת ירידה בעבור:
0 < x < 1.5
✅ פתרון סופי: 0 < x < 1.5
📐 כלל: ירידה בפרבולה עם a חיובי
כש־a > 0 הפרבולה "מחייכת": יורדת משמאל לקדקוד ועולה מימינו
סעיף ד – הנקודות שבהן y = −0.5
y = 0.4x2 − 1.2x
נציב y = −0.5:
0.4x2 − 1.2x = −0.5
0.4x2 − 1.2x + 0.5 = 0
נזהה את המקדמים:
📐 נוסחה: נוסחת השורשים
a = 0.4
📐 נוסחה: נוסחת השורשים
ax2 + bx + c = 0
x1,2 = −b ± √(b2 − 4ac)2a
x1,2 = −b ± √(b2 − 4ac)2a
סעיף ד – הנקודות שבהן y = −0.5 · המשך
a = 0.4
b = −1.2
c = 0.5
נחשב קודם את הביטוי שבתוך השורש:
b2 − 4ac = b2 − 4ac
b2 − 4ac = (−1.2)2 − 4 · 0.4 · 0.5
סעיף ד – הנקודות שבהן y = −0.5 · המשך
b2 − 4ac = (−1.2)2 − 4 · 0.4 · 0.5
b2 − 4ac = 1.44 − 0.8
b2 − 4ac = 0.64
√0.64 = 0.8
x1,2 = −b ± √b2 − 4ac2a
נציב b = −1.2 , √b2 − 4ac = 0.8 , a = 0.4:
סעיף ד – הנקודות שבהן y = −0.5 · המשך
נציב b = −1.2 , √b2 − 4ac = 0.8 , a = 0.4:
x1,2 = −(−1.2) ± 0.82 · 0.4 = 1.2 ± 0.80.8
x1 = 1.2 + 0.80.8 = 2.5
x2 = 1.2 − 0.80.8 = 0.5
שני הפתרונות בין 0 ל־3, כלומר על המסלול.
בדיקה: 0.4 · 0.25 − 0.6 = −0.5 ✓ , 0.4 · 6.25 − 3 = −0.5 ✓
סעיף ד – הנקודות שבהן y = −0.5 · המשך
בדיקה: 0.4 · 0.25 − 0.6 = −0.5 ✓ , 0.4 · 6.25 − 3 = −0.5 ✓
✅ פתרון סופי: x = 0.5 , x = 2.5
📌 סיכום התשובות
א
3 מטרים
ב
(1.5 , −0.9)
ג
0 < x < 1.5
ד
x = 0.5 , x = 2.5
© כל הזכויות שמורות למתמטריק – אלדד | eldadh.co.il
→ / רווח / לחיצה = הבא · ← = אחורה · F = מסך מלא